若 $x > 1$，则函数 $f(x) = 9x + \frac{1}{x-1}$ 的最小值为

求函数$ y=2x+\frac{1}{x^{2}} (x>0) $的值域

已知函数 $y=a^x+b(a>1)$的图象经过点(2,1),则$ \frac{16}{a}-b $ 的最小值为

若 $a>0$，$b>0$，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知 $a>0$，$b>0$，且 $ab = 1$，则 $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a + b}$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知 $x$，$y$ 为正实数，则 $\frac{x}{x + 2y} + \frac{2x + y}{x}$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

设 $a > b > c > 0$，则 $2a^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a(a - b)} - 12ac + 36c^2$ 最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知 $x$，$y$，$a$ 均为正实数，则 $\frac{y}{x} + \frac{25x}{3x + y} + a^2 - 2a + 4$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知 $a>1$，$b>2$，则 $\frac{(a + b)^2}{\sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{b^2 - 4}}$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知实数 $x \geq y > 0$，$z > 0$，则 $\frac{2x + 3y + 4z}{2x + y} + \frac{2x}{y + 2z}$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知 $a>0$，$b>0$，$c>0$，$a+b=2$，则 $\frac{ac}{b} - \frac{c}{2} + \frac{c}{ab} + \frac{\sqrt{5}}{c-2}$ 的最小值为______.

柯西不等式和权方和不等式

$\ x>0\text{，}y>0\text{，} 2x+5y=1\text{，则 } \frac{1}{2x}+\frac{1}{5y} \text{ 的最小值为} $

已知正实数 $x$、$y$ 满足 $x + 2 y = 2$，则 $\frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { y }$ 的最小值为

已知 $x>0$，$y>0$，$2x-\frac{1}{x}=\frac{8}{y}-y$，则 $2x+y$ 的最小值为

已知 $x>0$，$y>0$ 且 $\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，若 $x+y>m^{2}+8m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为

已知点 $P(x,y)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2y^{2}}{3} = 1$ 上运动，则 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{1+y^{2}}$ 的最小值是______．

若正数 $a$，$b$ 满足 $a+b=7$，则 $\frac{1}{a+1} + \frac{9}{b+1}$ 的最小值是

若 $x>0$，$y>0$，且 $x+4y=7$，则 $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y}$ 的最小值为______。

已知 $x$，$y$ 为正数，且 $x + \frac{1}{x} + 3y + \frac{3}{y} = 10$，则 $x + 3y$ 的最大值为______。

分式不等式的变形

已知实数 $x \geq y > 0$，$z > 0$，则 $\frac{2x + 3y + 4z}{2x + y} + \frac{2x}{y + 2z}$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知 $x \in [4, +\infty)$，$y \in (0, 5]$，$z \in (0, 1]$，则 $\frac{2x + y + 4z}{x + 2z} + \frac{2x + z}{y}$ 的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

已知正数$ a,b,c$ 满足 $a + 2b\geq c$，则 $\frac{b}{a}+\frac{a}{2b + c}$的最小值为

已知a>0，b>0，c>0，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + c = 2$，则$\frac{ab}{a + b + ab} + \frac{1}{c}$的最小值为___。

设 $a>0$, $b>2$ 且 $a+b=4$, 则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b-2}$ 的最小值是___.

已知实数 $x$，$y$ 满足 $x>y>0$，且 $x+y=2$，$M=\frac{3}{x+2y}+\frac{1}{2x-y}$ 的最小值为

已知点 $P(x,y)$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 上运动，则 $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}}$ 的最小值为

已知正数 $a$，$b$ 满足 $a+b=1$，$c \in \mathbb{R}$，则 $\frac{3a}{bc^{2}+b} + \frac{1}{abc^{2}+ab} + 3c^{2}$ 的最小值为

已知 $a\sqrt{c}>2b>0$，则 $a^{2}+\frac{4(c^{2}+1)}{b(a\sqrt{c}-2b)}+\frac{c^{3}+c+2}{2c^{2}+2}$ 的最小值是

齐次化

若正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，则 $\frac{b}{4a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为_______。

设 $x$，$y$ 为实数，若 $4x^{2}+y^{2}+xy=1$，则 $2x+y$ 的最大值为_________。

使得$5x+12\sqrt{x}y\leqslant a(x+y)$对所有正实数$x,y$都成立的实数$a$的最小值为

已知a，b均为正数，且ab-a-2b=0，则$\frac{a^{2}}{4}-\frac{2}{a}+b^{2}-\frac{1}{b}$的最小值为

已知$1 = x^{2}+4y^{2}-2xy(x < 0,y < 0)$,则$x + 2y$的取值范围为___.

已知正数 a, b 满足 $a + b = 1$, $c \in R$，则 $\frac{3a}{bc^{2}+b}+\frac{1}{abc^{2}+ab}+3c^{2}$ 的最小值为_______.

已知$3a^{2}+b^{2}-6b+4=0$,则$\frac{(3a+b)^{2}}{6b-4}$的最大值为

整体换元观察出对勾函数

当$x\in [\frac{3}{2},4]$时,不等式$|ax^{2}+bx+4a|\leq 2x$恒成立,则6a+b的最大值是.

若对于任意 $x\in[1,4]$，不等式 $0\leq ax^{2}+bx+4a\leq4x$ 恒成立，$|a|+|a+b+25|$ 的范围为

单变量法（消元法）

若实数 $x$，$y$ 满足 $2x^{2}+xy-y^{2}=1$，则 $\frac{x-2y}{5x^{2}-2xy+2y^{2}}$ 的最大值为______.

若正实数 $a$，$b$ 满足 $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+2} = \frac{1}{3}$，则 $ab + a + b$ 的最小值为。

几何意义相关题

已知正实数 $a,b,c,d$ 满足 $a^{2}-ab+1=0$，$c^{2}+d^{2}=1$，则当 $(a-c)^{2}+(b-d)^{2}$ 取得最小值时，$ab=$___.